位移法的目标是将所有的未知量由位移分量表示,观察方程组发现:几何方程中,应变分量已经由位移分量给出,而物理方程描述的是应变与应力之间的关系,先将物理方程变形为用应变表示应力的形式,有

将几何方程代入上式有

     现在应力分量也由位移分量表出,将上式代入平衡方程,得

     上式为用位移表示的平衡方程。现在可以看出, 上式中含有u 和v 两个未知量,共两个方程, 理论上可以求解。但是很多力学家验证,直接求解上述方程组的难度很大,多数情况下需要采用有限差分、有限元等数值方法进行求解。

     这里,我们仍然以图1所示的一维问题为例, 来说明位移法的求解过程。对于一维问题,上式中,v=f_y=ə/əy=0,一维问题不考虑横向效应,μ=0,因此用位移表示的平衡方程简化为

对上式积分两次,得

    其中,f_x=-ρg,C₁和C₂为积分常数,需要通过边界条件确定。从题设可知,x=0处为位移边界条件u=0,将上式代入,得C₂=0。

     在x=h处为应力边界条件。应力边界条件公式为

将下式代入上式表示的边界条件

得

    这里可以看出,应力边界条件实际上可以转化为位移边界条件。具体到本问题,考虑v=f_y=ə/əy=0,且l=1,m=0。上式变为

依据

得əu/əx=(ρg/E)x+C₁,将其代入边界条件式

得

将C₁和C₂代回式

得

    获得位移分量后,通过几何方程,得到应变分量εx=(ρgx-q-ρgh)/E,再利用物理方程得到应力分量σ_x=ρgx-q-ρgh,与下式表示的解完全一致。

下面我们来考虑如何利用应力法求解二维弹性力学问题,目标为将所有未知量都用应力表示,即所有方程中,不再出现应变分量和位移分量。依然考虑平面应力状态下的基本方程,如下所示:

平衡方程:

几何方程:

物理方程:

     其中,平衡方程中只含有应力分量,无需过多关注。下面重点来看几何方程和物理方程。首先看几何方程,从方程形式看,2个位移分量决定了3个应变分量,那么3个应变分量之间很可能不完全独立,那么它们应该满足什么关系呢?为了说明3个分量之间的关系,我们进行如下推导:

    请关注最后导出来的式(13),这个式子把三个应变分量写在同一个方程中,明确无误的表明了3个应变分量并非完全独立,它们就像一条绳上的3个蚂蚱,只要有一个变动,另外的两个也可能跟着发生变动。3个应变分量满足的这一关系称为变形协调方程(或相容方程),这一关系最早由圣维南于1864年导出,1866 年,贝尔特拉米(Eugenio Beltrami, 1835-1900.意大利著名数学家)对其进行了严格证明。变形协调方程说明了真实弹性体发生变形时需要满足的条件,即某一点的应变分量满足上式时才是真实的,如果不满足上式, 对于真实的弹性体,很可能发生了断裂、质点堆叠等不可预估的情形,超出了弹性力学的研究范畴。

     再回到平面问题基本方程,如果将物理方程代入变形协调方程,就可以得到用应力表示的变形协调方程,有

     现在已经看到,几何方程和物理方程已经转化为上式,完全由应力分量给出,与平衡方程

    一起组成方程组,3个方程(2个平衡方程+1变形协调方程)求解3个未知量(σ_x、σ_y、τ_xy),为封闭方程组。继续沿着消元的思想,利用平衡方程,还可以将变形协调方程中的τ_xy消去, 我们进行如下推导:

     上式为考虑了平衡方程的相容方程,只要找到上式的解,就可以利用平衡方程,求出τ_xy,再依据物理方程,求出应变分量,最后依据几何方程,求出位移分量。

     如果仍考虑图1所示的一维问题,仍有v=f_y=ə/əy=0,以及μ=0,上式将简化为

    由于,f_x=-ρg为常数,为ə²/əx²,积分后有

代入物理方程,得

再代入几何方程,有

考虑固定端位移边界条件,有

    还有两个未知数C₁和C₂,但是顶部应力边界条件只能写出一个方程,需要再补充一个应力边界条件。为此,考虑固定端,去掉约束后, 下端约束反力为ρgh+q,如

图2 固定端等效面

以下为应力边界条件:

上端:

下端:

联列两个应力边界条件,得

代入应力、应变、位移表达式,得

利用应力法求解也与前面的解一致。

     平面问题的求解在弹性力学中占有非常重要的地位,是弹性力学的重点内容。本文虽然推导了二维平面问题应力法和位移法的基本方程,但所举例子均为一维问题,没有真正涉及二维问题的求解,目的在于理解力法和位移法的求解过程。实际上,二维问题的求解难度要远远大于一维问题,时至今日,利用位移解析法求解二维问题的例子仍然很少。