弯曲切应力、梁的强度条件

董敬松¹³³³⁷⁸⁸³⁰⁸⁶钢铁材料2022-04-19 15:461329

材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件

  横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力,所以横截面上既有正应力又有切应力。下面,讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。

矩形截面

     从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段,该段梁上没有载荷作用,微段两侧截面上的剪力相等,但方向相反。右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量,因为弯矩不等,因而两截面上的正应力也不相同。

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     对于狭长矩形截面,由于梁的侧面上无切应力,根据切应力互等定理,截面上两侧边各点处的切应力与边界相切,即与边界平行,梁发生对称弯曲,对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向,在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。


     于是,关于横截面上切应力的分布规律,作以下假设:


  • 横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力;


  • 切应力沿截面宽度均匀分布,即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。

      截面高宽比大于2的情况下,以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比,有足够的精确度。

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      根据切应力互等定理,横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。沿矩中性轴距离y 的纵向面把微段截开,取纵向面下侧微元,受力如图所示。

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     左侧截面上正应力的合力为

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     右侧截面上正应力的合力为

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      显然这两个合力大小不等,纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡,这个力为切应力的合力,这也证明了纵向截面上存在切应力,由于dx是小量,则设纵向面的切应力均匀分布

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      根据平衡条件

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      即

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     其中

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     由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系

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     可得

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     其中:b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度,对于矩形截面为常数;Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩;Sz*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩;Fs为横截面上的剪力。


     其中

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     代入切应力计算公式

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     切应力沿截面高度为抛物线分布,当y=0时,即中性轴处有截面上的最大切应力

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     角应变为

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      可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布,此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图,验证了横力弯曲变形不满足平面假设。

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      剪力不变的横力弯曲,相邻横截面上的切应力相同,翘曲程度也相同,纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变,因此不会引起附加的正应力。若剪力随截面位置而变化,相邻两截面上的翘曲程度不同,在截面上引起附加的正应力。


      对于其他形状的对称截面,均可按上述的推导方法,求得切应力的近似解。对于矩形截面,在应力计算公式中截面宽度b为常数,而中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩最大,所以中性轴上各点处的切应力为最大。


      对于其他形状的对称截面,横截面上的最大切应力通常也均发生在中性轴上的各点处,只有宽度在中性轴处显著增大的截面(如十字形截面)或某些变宽度的截面(如等腰三角形截面)等除外。因此,下面对于工字形、环形和圆形截面梁,主要讨论其中性轴上各点处的最大切应力。

圆截面

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      由切应力互等定理,在圆截面边缘上各点处切应力的方向与圆周相切。而在对称轴的各点处,由对称性其切应力必沿y方向。因此,切应力分布规律可以假设为:


  • 沿距中性轴为y 的宽度上各点处的切应力均汇交于对称轴一点;

  • 沿宽度各点处切应力沿y 方向的分量相等。

     圆截面的最大切应力仍在中性轴上。由于在中性轴两端处切应力的方向均与圆周相切,且与外力作用方向平行,故中性轴上各点处的切应力方向均与外力平行,且数值相等。最大切应力为

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工字形截面

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      工字形形截面属于开口薄壁截面,且应力分布如图,沿壁厚切应力大小相等,称为切应力流,流向沿着剪力的方向(与水流一样,沿着剪力方向,从上游流向下游)。翼缘上平行于y轴的切应力分量是次要的,忽略不计,主要是与翼缘长边平行的切应力分量。腹板上的切应力为抛物线分布,应力大小如图所示,其最大切应力在中性轴处。


      如果是工字形型钢,最大切应力

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   其中,b 为腹板的厚度,Iz/S*zmax可以查型钢表得到。


      如果是三个狭长矩形组成的工字形截面,可求得腹板上的最大和最小切应力分别是

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     从以上两式看出,腹板的宽度远小于翼缘的宽度,因此腹板上的最大切应力与最小切应力实际上相差不大。所以,可以认为在腹板上切应力大致是呈均匀分布的。腹板上的切应力合力占到总剪力的95-97%,横截面上的剪力绝大部分由腹板所负担。既然腹板几乎负担了截面上的全部剪力,而且腹板上的切应力又接近于均匀分布,则最大切应力可以用腹极的截面面积除剪力近似计算最大切应力

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     同时,工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处,每一点的正应力都比较大,所以翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

薄壁环形截面

     薄壁环形截面,厚度为d,环的平均半径为r,厚度远小于平均半径,故可假设:

  • 横截面上切应力的大小沿壁厚大小相等;

  • 切应力的方向与截面中线相切,切应力流方向沿着剪力方向。

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     最大切应力位于中性轴

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    式中,A 为环形截面的面积。


梁的强度条件

     弯曲正应力强度条件:

  • 关于中性轴对称的截面,其最大拉正应力和最大压正应力相等,常用塑性材料,其强度条件

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  • 关于中性轴不对称的截面,其最大拉正应力和最大压正应力不相等,常用脆性材料,其强度条件

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     弯曲切应力的强度条件是

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提高梁弯曲强度的措施

      弯曲正应力是控制梁的主要因素。所以弯曲正应力的强度条件,往往是设计梁的主要依据。

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      从强度条件出发,要提高梁的承载能力应从两方面考虑,一方面是合理安排梁的受力情况,降低最大弯矩值;另一方面则是采用合理的截面形状,提高截面的抗弯截面系数,充分利用材料的性能。


1. 合理安排梁的受力情况


      改善梁的受力情况,尽量降低梁内的最大弯矩。

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      如图所示受均布载荷的梁,当把支座从梁的两端位置向里移动一段距离后,梁上的最大弯矩大大减小。如门式起重机的大梁、柱形容器等,其支撑点略向中间移动,都可以取得降低最大弯矩值的效果。


2. 梁的合理截面


      抗弯截面系数越大,则应力越小,梁的承载能力越高。

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      如受竖直方向载荷作用的梁,把截面竖放时的抗弯截面系数较大,竖放比平放更为合理。


      在提高截面的抗弯截面系数的同时,还希望用较少的材料,达到较好的经济性。因此,一般用抗弯截面系数与截面面积的比值衡量截面设计的合理性。在相同截面面积的情况下,矩形截面(高度大于宽度)比圆形截面合理,而工字形截面或箱形截面比矩形截面合理。所以,为了充分利用材料,应尽可能地把材料放置到离中性轴较远处。


      在讨论截面的合理形状时,还应考虑到材料的特性。对抗拉和抗压强度相同的材料(如低碳钢),宜采用对中性轴对称的截面,如圆形、矩形、工字形、箱形等。这样可使截面上、下边缘处的最大拉应力和最大压应力数值相等。


       对抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁、水泥等),宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。

等强度梁的概念

     前面讨论的梁都是等截面的,抗弯截面系数为常数,但通常情况下梁的各截面弯矩是随截面的位置而变化的。等直梁的截面设计要根据最大弯矩处进行,其最大应力接近许用应力,其余各截面上弯矩较小,应力也就较小,材料没有充分利用。为了节约材料,减轻自重,可改变截面尺寸,使抗弯截面系数随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面,而在弯矩较小处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁,称为变截面梁。


     如变截面梁各横截面上的最大正应力都相等,且都等于许用应力,称为等强度梁。

来源:常州精密钢管博客网/材料力学之教与学


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评论列表
  • 天人合一(2024-07-06 04:21:20)回复取消回复

    钢材的知识真的很博大精深,学习中......

  • 锅炉厂(2024-07-06 04:21:20)回复取消回复

    这外材料的锅炉管你们仁成钢管厂好不好做?

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